Recientemente la Revista Mexicana de Física publicó un artículo de un académico ucraniano titulado El oscilador de Coulomb uni-dimensional (ver: V. V. Ivchenko, “The one-dimensional Coulomb oscillator”, Rev. Mex. Fis. E, vol. 20, no. 1, 2023).  A su vez, este artículo toma algunas de sus más importantes ideas de un interesante trabajo publicado algunos años antes por el profesor Rodney Loudon publicado en las Memorias de la Royal Society de Londres (ver: R. Loudon, “One-dimensional hydrogen atom”, Proc. R. Soc. A.472, 2016).  En ambos artículos se discuten modelos ficticios o imaginarios útiles en algunas descripciones de la naturaleza. Se trata de modelos matemáticos unidimensionales que tienen la enorme ventaja de ser técnicamente más sencillos de manejar, tanto analítica como numéricamente, que los modelos del mundo real tridimensional.

El utilizar representaciones simplificadas de lo que ocurre en la naturaleza y el mundo real es una labor común de la actividad científica y de ingeniería.

Con estas simplificaciones y aproximaciones se pueden obtener resultados que frecuentemente coinciden con mucha precisión con lo que ocurre en el mundo real pero que es mucho más difícil de modelar.  Un ejemplo sencillo para entender esta idea es el modelo de un péndulo. Un péndulo se construye colgando una masa de un hilo y dejándolo oscilar. Como sabemos, si alejamos la masa de su punto de equilibrio (el punto más bajo) y la soltamos, veremos que el péndulo empieza a oscilar. 

Obtener un modelo matemático que describa el movimiento del péndulo requiere entender cuáles son factores importantes y determinantes en la dinámica del sistema. La fuerza debida a la atracción gravitacional sobre la masa es fundamental para el comportamiento del péndulo. Sin embargo, hay otros factores que podemos introducir, o no introducir, en el modelo dependiendo de la precisión que deseemos para el mismo. 

La fricción del aire es uno de estos factores, es la fuerza responsable de detener al péndulo y llevarlo a un estado de equilibro inmóvil. Sin embargo, si deseamos concentrar la observación del péndulo durante solo unas cuantas oscilaciones veremos que la fricción del aire es un factor despreciable pues en este caso la amplitud de las oscilaciones será casi constante. De hecho, la fricción del péndulo con el aire que le rodea es un factor importante del modelo solamente cuando observamos su comportamiento en el tiempo desde un inicio hasta que de modo natural el péndulo se detiene, pero no cuando observamos solo unas cuantas oscilaciones. Otro factor que se puede introducir al modelar un péndulo es la elasticidad del hilo de donde cuelga la masa del péndulo. 

Este hilo, como todo material real, tiene cierta elasticidad, por tanto, cuando el péndulo oscila y la masa pasa por el punto más bajo, en donde su velocidad es máxima, allí tendremos que la longitud del péndulo es ligeramente mayor que en los puntos extremos más elevados en donde instantáneamente la masa está en reposo.

Resumiendo lo anterior, podemos ver que el modelo matemático de un péndulo incluye términos que toman en consideración la fuerza restitutiva debida a la gravedad que actúa sobre la masa, en segundo lugar, la fuerza de fricción del aire que se opone al movimiento de la masa y finalmente, la elasticidad del hilo del péndulo que provoca que su longitud sea variable.

Cuando se resuelve matemáticamente el problema del péndulo, la solución que se obtiene depende de cuáles son los términos que se están introduciendo. Si solo se introduce la fuerza restitutiva debida a la gravedad se obtiene la solución más simple que es la de una oscilación senoidal válida desde el inicio de la observación hasta un tiempo infinito.  Si se introduce la fuerza restitutiva y la fricción del aire se obtiene una solución sinusoidal que poco a poco, exponencialmente, decrece en el tiempo hasta detenerse, y si en el problema se introduce la fuerza restitutiva gravitacional, la fuerza de fricción y la longitud variable del hilo del péndulo se obtiene una solución cuya amplitud decrece en el tiempo pero ya no es exactamente sinusoidal.

La moraleja más importante de esto es que podemos obtener soluciones aproximadas útiles en la práctica, o soluciones de muy alta precisión y también de alta complejidad.

Un átomo de hidrógeno unidimensional es algo que no existe en la naturaleza, pero las soluciones matemáticas que se obtienen en este caso ficticio son mucho más sencillas que las de un átomo real en tres dimensiones. Por otra parte, bajo consideraciones experimentales especiales, varios sistemas reales pueden modelarse aproximadamente como si fueran átomos unidimensionales.

El más interesante ejemplo es el caso de átomos de hidrógeno colocados en campos magnéticos intensos como ocurre de modo natural en las atmósferas estelares o en laboratorios especiales. En este caso las soluciones obtenidas para el modelo unidimensional describen adecuadamente lo que ocurre en el mundo tridimensional.

Otro interesante ejemplo son los alambres cuánticos semiconductores que también pueden representarse con un modelo unidimensional.  Otro ejemplo parecido son los nanotubos de carbono los cuales fueron descubiertos apenas en los primeros años de la década de los años noventa del siglo pasado. Un último ejemplo son las cadenas poliméricas que pueden muy adecuadamente representarse como sistemas unidimensionales.